Funk tryg max, Nomat
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
77. Kątem nazywamy część płaszczyzny ograniczoną dwoma półprostymi (ramionami) o wspólnym początku
(wierzchołku), wraz z nimi. Kąt skierowany jest miarą obrotu. Przyjęte zostało, że obrót zorientowany przeciwnie
do ruchu wskazówek zegara jest opisywany kątem skierowanym dodatnim; zgodnie – ujemnym.
1 Jeżeli ramiona kąta ostrego a przecięte są prostymi równoległymi, prostopadłymi do jednego z ramion kąta
(jak na rysunku):
to mamy
D
AB
1
C
1
~
D
AB
2
C
2
~
D
AB
3
C
3
~
...
(
kk
) i wtedy:
·
B
1
C
1
=
B
2
C
2
=
...
=
const
def
=
sin
a
AB
AB
C
3
1
2
C
2
.
·
AC
1
=
AC
2
=
...
=
const
def
=
cos
a
AB
AB
C
1
.
1
2
.
·
B
1
C
1
=
B
2
C
2
=
...
=
const
def
=
tg
a
AC
AC
a
1
2
A
B
1
B
2
B
3
·
AC
1
=
AC
2
=
...
=
const
def
=
ctg
a
B
C
B
C
1
1
2
2
2 Jeżeli ramię stałe kąta skierowanego
a
pokrywa się z dodatnią osią odciętych (
OX
) a ramię wodzące przechodzi
przez punkt
P
(
x
,
0
y
) ( )
0
0
(jak na rysunku) i przyjmiemy
r
=
x
0
y
+
2
0
,
0
Y
to (niesprzecznie z definicjami funkcji
trygonometrycznych kąta ostrego) mamy:
def
y
·
sin
a
=
0
P
(
x
0
,
y
0
)
r
def
x
·
cos
a
=
0
r
y
0
r
·
tg
a
def
=
y
0
o ile
x
¹
0
0
x
a
0
def
=
x
x
0
X
·
ctg
a
0
o ile
y
¹
0
0
y
0
78. Miarą kąta (kąta skierowanego) może być stopień – przyjęte jest, że kąt pełny ma
360 i radian – kąt ma miarę
°
1 [rad], jeżeli, jako kąt środkowy, oparty jest na łuku długości równej promieniowi okręgu. Zatem
a
=
?
, gdzie
?
r
jest długością łuku i
r
długością promienia okręgu. Ostatecznie:
p
[ ]
rad
= 180
°
.
LMK_R
~
/770
°
°
¹
2
79. Funkcja
y
=
f
( )
x
=
sin
x
;
D
=
R
na
f
R
,
2)
f
nie jest różnowartościowa, bo np.
:
®
-
1,
1
5)
f
jest okresowa;
T
0
=
2
p
, bo
L
Î
(
x
+
k
×
2
p
)
Î
D
Ù
sin
(
x
+
k
×
2
p
)
=
sin
x
,
k
Î
C
x
D
p
5
p
1
sin
=
sin
=
,
6)
f
monotoniczna przedziałami:
6
6
2
p
p
f
-
+
k
×
2
p
,
+
k
×
2
p
3)
f
nie jest przekształceniem wzajemnie
jednoznacznym, bo
f
nie jest różnowartościowa,
4) funkcja odwrotna
2
2
f
nie istnieje, bo
f
nie jest
przekształceniem wzajemnie jednoznacznym,
Uwaga: Jeżeli
1
i
f
¯
p
+
k
×
2
p
,
3
p
+
k
×
2
p
dla
k
Î
C
,
2
2
y
=
f
( )
x
=
sin
x
określona jest na
x
=
-
p
+
k
×
2
p
x
=
p
+
k
×
2
p
7)
2
Ú
2
dla
k
Î
C
,
p
p
D
=
-
,
, to istnieje funkcja odwrotna do niej –
y
=
-
1
=
m
y
=
1
=
M
2
2
min
max
8
Î
{ }
funkcja cyklometryczna:
y
=
f
-1
( )
x
=
arcsin
x
8)
y
=
0
Û
x
Î
k
×
p
,
k
określona na
D
=
-
1,
1
.
9)
f
nieparzysta, bo
Î
( )
-
x
Î
D
Ù
sin
( )
-
x
=
-
sin
x
.
x
D
80. Funkcja
y
=
f
( )
x
=
cos
x
;
D
=
R
na
f
R
,
2)
f
nie jest różnowartościowa, bo np.
:
®
-
1,
1
5)
f
jest okresowa;
T
0
=
2
p
, bo
L
L
(
x
+
k
×
2
p
)
Î
D
Ù
cos
(
x
+
k
×
2
p
)
=
cos
x
,
k
Î
C
x
Î
D
cos
-
p
=
cos
p
=
3
,
6)
f
monotoniczna przedziałami:
(
6
6
2
f
-
p
+
k
×
2
p
,
0
+
k
×
2
p
)
3)
f
nie jest przekształceniem wzajemnie
jednoznacznym, bo
f
nie jest różnowartościowa,
4) funkcja odwrotna
i
f
¯
(
0
+
k
×
2
p
,
p
+
k
×
2
p
)
dla
k
Î
C
,
f
nie istnieje, bo
f
nie jest
przekształceniem wzajemnie jednoznacznym,
Uwaga: Jeżeli
7)
x
=
0
+
k
×
2
p
Ú
x
=
p
+
k
×
2
p
dla
k
Î
C
,
y
=
1
=
M
y
=
-
1
=
m
max
min
y
=
f
( )
x
=
cos
x
określona jest na
8)
y
=
0
Û
x
Î
8
Î
2
+
k
×
p
,
D
, to istnieje funkcja odwrotna do niej –
funkcja cyklometryczna:
=
0
p
k
( )
( )
y
=
f
-1
( )
x
=
arccos
x
9)
f
parzysta, bo
Î
-
x
Î
D
Ù
cos
-
x
=
cos
x
.
x
D
określona na
D
=
-
1,
1
.
81. Funkcja
y
=
f
( )
x
=
tg
x
;
D
=
{
x
Î
R
;
cos
x
¹
0
}
=
R
\
8
C
2
+
k
×
p
k
Î
1)
f
:
R
\
8
2
+
k
×
p
®
R
,
5)
f
jest okresowa;
T
=
p
, bo
L
Î
(
x
+
k
×
p
)
Î
D
Ù
tg
(
x
+
k
×
p
)
=
tg
x
,
k
Î
C
p
3
p
k
Î
C
x
D
2)
f
nie jest różnowartościowa, bo np.
tg
=
tg
=
1
,
p
p
4
4
6)
f
rosnąca przedziałami:
f
-
+
k
×
p
,
+
k
×
p
2
2
3)
f
nie jest przekształceniem wzajemnie
jednoznacznym, bo
f
nie jest ró
ż
nowarto
ś
ciowa,
4) funkcja odwrotna
k
,
7)
f
nie przyjmuje wartości ekstremalnych,
8)
dla
Î
C
f
nie istnieje, bo
f
nie jest
przekształceniem wzajemnie jednoznacznym,
Uwaga: Jeżeli
y
=
0
Û
x
Î
8
Î
{ }
k
×
p
,
y
=
f
( )
x
=
tg
x
określona jest na
k
9)
f
nieparzysta, bo
Î
( )
-
x
Î
D
Ù
tg
( )
-
x
=
-
tg
x
.
p
p
D
=
-
,
, to istnieje funkcja odwrotna do niej –
x
D
2
2
funkcja cyklometryczna:
y
=
f
-
1
( )
x
=
arctg
x
określona na
D
=
R
.
LMK_R
~
/770
1)
1)
na
82. Funkcja
y
=
f
( )
x
=
ctg
x
;
D
=
{
x
Î
R
;
sin
x
¹
0
}
=
R
\
8
C
{ }
k
×
p
k
Î
1)
f
:
R
\
8
{ }
k
×
p
®
na
R
,
5)
f
jest okresowa;
T
=
p
, bo
L
Î
(
x
+
k
×
p
)
Î
D
Ù
ctg
(
x
+
k
×
p
)
=
ctg
x
,
k
Î
C
2)
f
nie jest różnowartościowa, bo np.
k
Î
C
x
D
(
)
ctg
p
=
ctg
3
p
=
1
,
6)
f
malejąca przedziałami:
f
¯
0
+
k
×
p
,
p
+
k
×
p
4
4
k
,
7)
f
nie przyjmuje wartości ekstremalnych,
dla
Î
C
3)
f
nie jest przekształceniem wzajemnie
jednoznacznym, bo
f
nie jest różnowartościowa,
4) funkcja odwrotna
f
nie istnieje, bo
f
nie jest
przekształceniem wzajemnie jednoznacznym,
Uwaga: Jeżeli
1
8)
y
=
0
Û
x
Î
8
Î
2
+
k
×
p
,
k
y
=
f
( )
x
=
ctg
x
określona jest na
9)
f
nieparzysta, bo
Î
( )
-
x
Î
D
Ù
ctg
( )
-
x
=
-
ctg
x
.
x
D
D
, to istnieje funkcja odwrotna do niej –
funkcja cyklometryczna:
=
( )
0
p
y
=
f
-1
( )
x
=
arcctg
x
określona na
D
=
R
.
83. Dla dowolnego, dobrze określonego kąta (kąta skierowanego)
zachodzą:
wzory redukcyjne 1. ćwiartki („
W pierwszej wszystkie sĄ dodatnie
,...”)
a
·
sin
(
90
°
-
a
)
=
cos
a
·
sin
(
k
×
360
°
+
a
)
=
sin
a
dla
k
Î
C
·
cos
(
90
°
-
a
)
=
sin
a
·
cos
(
k
×
360
°
+
a
)
=
cos
a
dla
k
Î
C
·
tg
(
90
°
-
a
)
=
ctg
a
·
tg
(
k
×
360
°
+
a
)
=
tg
a
dla
k
Î
C
·
ctg
(
90
°
-
a
)
=
tg
a
·
ctg
(
k
×
360
°
+
a
)
=
ctg
a
dla
k
Î
C
wzory redukcyjne 2. ćwiartki („..
w drugiej tylko sinus
,...”)
·
sin
(
90
°
+
a
)
=
cos
a
·
sin
(
180
°
-
a
)
=
sin
a
·
cos
(
90
°
+
a
)
=
-
sin
a
·
cos
(
180
°
-
a
)
=
-
cos
a
·
tg
(
90
°
+
a
)
=
-
ctg
a
·
tg
(
180
°
-
a
)
=
-
tg
a
·
ctg
(
90
°
+
a
)
=
-
tg
a
·
ctg
(
180
°
-
a
)
=
-
ctg
a
wzory redukcyjne 3.
ć
wiartki („...
w trzeciej tangens i kotangens
,...”)
·
sin
(
270
°
-
a
)
=
-
cos
a
·
sin
(
180
°
+
a
)
=
-
sin
a
·
cos
(
270
°
-
a
)
=
-
sin
a
·
cos
(
180
°
+
a
)
=
-
cos
a
·
tg
(
270
°
-
a
)
=
ctg
a
·
tg
(
180
°
+
a
)
=
tg
a
·
ctg
(
270
°
-
a
)
=
tg
a
·
ctg
(
180
°
+
a
)
=
ctg
a
wzory redukcyjne 4. ćwiartki („...
a w czwartej kosinus
.”)
·
sin
(
270
°
+
a
)
=
-
cos
a
·
sin
(
360
°
-
a
)
=
sin
( )
-
a
=
-
sin
a
·
cos
(
270
°
+
a
)
=
sin
a
·
cos
(
360
°
-
a
)
=
cos
( )
-
a
=
cos
a
·
tg
(
270
°
+
a
)
=
-
ctg
a
·
tg
(
360
°
-
a
) ( )
=
tg
-
a
=
-
tg
a
·
ctg
(
270
°
+
a
)
=
-
tg
a
·
ctg
(
360
°
-
a
)
=
ctg
( )
-
a
=
-
ctg
a
.
84. Dla dowolnego, dobrze określonego kąta (kąta skierowanego)
a
zachodzą:
·
sin
2
a
+
cos
2
a
=
1
·
cos
a
=
ctg
a
sin
a
sin
a
·
=
tg
a
wynika z nich ponadto:
tg
a
×
ctg
a
=
1
.
cos
a
(Dowody wykorzystują bezpośrednio definicje i twierdzenie Pitagorasa)
LMK_R
~
/770
85.
·
Jeżeli
sin
y
=
a
i
D
=
R
, to:
1
°
a
Î
[
(
-
¥
,
-
1
) ( )
È
1
,
+¥
]
⇒
y
Î
O
/
2
°
a
Î
-
1,
1
⇒
(
y
=
a
+
k
×
2
p
Ú
y
=
p
-
a
+
k
×
2
p
)
Ù
k
Î
C
, gdzie
a
Î
-
p
,
p
i
a
=
sin
a
.
2
2
·
Jeżeli
cos
y
=
a
i
D
=
R
, to:
1
°
a
Î
[
(
-
¥
,
-
1
) ( )
È
1
,
+¥
]
⇒
y
Î
O
/
2
°
a
Î
-
1,
1
⇒
(
y
=
a
+
k
×
2
p
Ú
y
=
-
a
+
k
×
2
p
)
Ù
k
Î
C
, gdzie
a
Î
0
p
i
a
=
cos
a
.
·
Jeżeli
tg
y
=
a
i
D
=
{
y
Î
R
;
cos
y
¹
0
}
, to
y
=
a
+
k
×
p
Ù
k
Î
C
, gdzie
a
Î
-
p
,
p
i
a
=
tg
a
.
2
2
·
Jeżeli
ctg
y
=
a
i
D
=
{
y
Î
R
;
sin
y
¹
0
}
, to
y
=
a
+
k
×
p
Ù
k
Î
C
, gdzie
a
Î
( )
0
p
i
a
=
ctg
a
.
86.
Niech
a
, będą kątami ostrymi o wspólnym ramieniu. Wtedy można poprowadzić prostą prostopadłą do
b
wspólnego ramienia otrzymując trójkąt
KMN
jak na rysunku:
N
Wtedy z trójkątów prostokątnych
KLN
i
LMN
mamy:
a
b
a
h
·
=
sin
a
i
=
cos
a
A
A
A
B
h
·
b
=
sin
b
i
h
=
cos
b
B
B
a
.
b
·
A
2
-
a
2
=
B
2
-
b
2
=
h
2
K
L
M
S
=
1
×
A
×
B
×
sin
(
a
+
b
)
D
KLM
2
a
×
h
+
b
×
h
a
h
h
b
(
)
1 Ponieważ
, to
sin
a
+
b
=
=
×
+
×
=
sin
a
×
cos
b
+
cos
a
×
sin
b
1
A
×
B
A
B
A
B
(
)
S
=
×
a
+
b
×
h
D
KLM
2
2 Na mocy twierdzenia Carnot’a mamy:
(
a
+
b
)
2
=
A
2
+
B
2
-
2
×
A
×
B
×
cos
(
a +
b
)
. Zatem
(
)
A
2
-
a
2
+
B
2
-
b
2
-
2
×
a
×
b
2
×
h
2
-
2
×
a
×
b
h
h
a
b
cos
a
+
b
=
=
=
×
-
×
=
cos
a
×
cos
b
-
sin
a
×
sin
b
2
×
A
×
B
2
×
A
×
B
A
B
A
B
Wykorzystując wzory redukcyjne i podstawowe tożsamości trygonometryczne wzory
1 i
°
2 można uogólnić
°
i rozszerzyć dla dobrze określonych kątów
a
i
b
:
·
sin
(
a
+
b
)
=
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
·
sin
(
a
-
b
)
=
sin
a
cos
b
-
cos
a
sin
b
·
cos
(
a
+
b
)
=
cos
a
cos
b
-
sin
a
sin
b
·
cos
(
a
-
b
)
=
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
·
tg
(
a
+
b
)
=
tg
a
+
tg
b
·
tg
(
a
-
b
)
=
tg
a
-
tg
b
1
-
tg
a
×
tg
b
1
+
tg
a
×
tg
b
·
ctg
(
a
+
b
)
=
ctg
a
×
ctg
-
1
·
ctg
(
a
-
b
)
=
ctg
a
×
ctg
b
+
1
ctg
a
+
ctg
b
ctg
b
-
ctg
a
LMK_R
~
/770
°
°
x
=
a
+
b
2
a
=
x
+
y
87.
1 Dla dowolnych kątów
°
a
i
b
można wskazać kąty
x
i
y
takie, że
,
co jest równoważne:
.
a
-
b
b
=
x
-
y
y
=
2
Mamy zatem:
·
sin
a
+
sin
b
=
sin
(
x
+
y
)
+
sin
(
x
-
y
)
=
sin
x
cos
y
+
cos
x
sin
y
+
sin
x
cos
y
-
cos
x
sin
y
=
=
2
sin
x
cos
y
=
2
sin
a
+
b
cos
a
-
b
2
2
Post
ę
puj
ą
c analogicznie otrzymamy:
·
sin
a
-
sin
b
=
2
sin
a
-
b
cos
a
+
b
2
2
a
+
b
a
-
b
·
cos
a
+
cos
b
=
2
cos
cos
a
+
b
a
-
b
2
2
·
cos
a
-
cos
b
=
-
2
sin
sin
2
2
2 Wykorzystując podstawowe tożsamości trygonometryczne i znane wzory (86.) możemy dla dobrze określonych
kątów a i b
°
obliczyć
·
tg
a
+
tg
b
=
sin
a
+
sin
b
=
=
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
=
sin
(
a
+
b
b
cos
a
cos
b
cos
a
cos
b
cos
a
cos
Post
ę
puj
ą
c analogicznie otrzymamy:
·
tg
a
-
tg
b
=
sin
(
a
-
b
b
(
b
cos
a
cos
sin
a
+
b
·
ctg
a
+
ctg
b
=
(
sin
b
-
a
sin
a
sin
·
ctg
a
-
ctg
b
=
sin
a
sin
b
Ponadto mamy:
·
cos
a
+
sin
a
=
cos
a
+
cos
p
-
a
=
2
cos
p
cos
a
-
p
=
2
cos
a
-
p
2
4
4
4
·
cos
a
-
sin
a
=
cos
a
-
cos
p
-
a
=
-
2
sin
p
sin
a
-
p
=
-
2
sin
a
-
p
2
4
4
4
cos
a
sin
a
2
(
cos
2
a
+
sin
2
a
)
2
·
ctg
a
+
tg
a
=
+
=
=
sin
a
cos
a
2
sin
a
cos
a
sin
2
a
cos
a
sin
a
2
(
cos
2
a
-
sin
2
a
)
2
cos
2
a
·
ctg
a
-
tg
a
=
-
=
=
=
2
ctg
2
a
sin
a
cos
a
2
sin
a
cos
a
sin
2
a
88.
cos
2
a
+
sin
2
a
=
1
sin
a
2
sin
a
cos
a
2
2
a
2
2
2
sin
a
Ponieważ
, to
·
tg
=
=
=
a
a
2
a
a
1
+
cos
a
cos
2
-
sin
2
=
cos
a
cos
2
cos
2
2
2
2
2
i analogicznie:
a
1
-
cos
a
·
sin
=
a
sin
a
2
2
·
ctg
=
2
1
-
cos
a
a
1
+
cos
a
·
cos
=
2
2
89.
Ponieważ
2
a
=
a
+
a
i
3
a
= 2
a
+
a
, to dla dobrze określonych kątów a i b
mamy (na mocy wzorów 86.):
·
sin
2
a
=
2
sin
a
cos
a
·
sin
3
a
=
3
sin
a
cos
2
a
-
sin
3
a
·
cos
2
a
=
cos
2
a
-
sin
2
a
·
cos
3
a
=
cos
3
a
-
3
sin
2
a
cos
a
2
tg
a
·
tg
2
a
=
3
tg
a
-
tg
3
a
·
tg
3
a
=
1
-
tg
2
a
1
-
3
tg
2
a
ctg
2
a
-
1
ctg
3
a
-
3
ctg
a
·
ctg
2
a
=
·
ctg
3
a
=
2
ctg
a
3
ctg
2
a
-
1
LMK_R
~
/770
[ Pobierz całość w formacie PDF ]